三分损益：一根弦上算出来的十二律，以及它算不回去的那一点

先做一件事：找一根弦，按住它的三分之二处弹，和空弦比。你会听到一个纯五度。

这就是三分损益法的全部原理——一个比例，反复用。中国古代的整套律制是从这一步长出来的。

算法本身只有两句话

取一根弦，长度记作 1。

• 三分损一：去掉三分之一，留三分之二（2/3）。音高上去，是上方五度。古人称这一步为「下生」（指弦长变小）。
• 三分益一：加上三分之一，变成三分之四（4/3）。音高下来一个四度。称为「上生」。

从一律出发，下生五次、上生六次，一共生律十一次，得到十二个音——这就是十二律：黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟。

因为每一步都是五度关系，这个方法也叫五度相生法。

记载的年代

三分损益最早见于春秋时期《管子·地员篇》，那里它是和宫、徵、商、羽、角五声的记载连在一起的——先有五声，后有十二律。

到《吕氏春秋·音律篇》，它开始和黄钟、林钟等十二律的具体长度规范连在一起。也就是说，从五声扩充到十二律，中间经历了一段时间。

五声为什么是宫商角徵羽

按五度相生，从宫出发连续生律四次，得到五个音。把它们收进同一个八度里排序，正好是：

注意这五个音之间没有小二度——也就是没有半音。所以五声音阶又被叫作「无半音五声音阶」。这一点直接决定了中国传统音乐的听感：没有半音那种紧绷的倾向性，旋律走得开阔。

古琴的正调定弦就是一组五声：由低到高是徵、羽、宫、商、角、徵、羽，跨两个八度多一点。空弦上没有半音，这是古琴散音听起来那么「正」的原因之一。

算不回去的那一点

问题出在循环上。

如果五度相生能无限循环，生律十二次应该回到出发音的高八度。古人为了让律数都是整数，把黄钟定为 177147（也就是 3 的十一次方），一路算下来，第十二律仲吕的律数是 131072。

仲吕再上生一次：

131072 × 4/3 = 174762.67

而黄钟是 177147。回不去了，差了一点，换成音分约是 23.46 音分。

这个缺口不是算错，是数学上的必然：连续乘十二次 2/3 或 4/3，结果永远不可能正好等于 1/2 的某个幂。三和二这两个数，无论怎么乘，凑不到一起。

后世把这个差叫「最大音差」（西方称毕达哥拉斯音差）。它意味着十二律不能周而复始——你不能靠三分损益无限转调，转一圈就会差出一个能听出来的量。

明代朱载堉正是为了解决这个缺口，提出了十二等分八度的算法，也就是十二平均律的思路。

这个缺口和古琴有什么关系

关系很大。古琴不是一件把音固定死的乐器：

空弦（散音）按五度关系定，走的是三分损益这条路。徽位（泛音、按音）按弦长的简单分数定，走的是另一条路——纯律。

两条路在某些音上会差一点。差多少、差在哪，就是琴律里最费口舌的部分。下一篇讲这个：为什么一张琴上同时跑着两套音准，以及为什么这不是缺陷。

调琴时那些「怎么都调不准」的时刻，多半不是耳朵的问题，也不是琴的问题——是两套律制在同一根弦上碰头了。灵弦的调音器「正弦」显示的是音分偏差，把这个数字看熟，很多困惑会自己解开。